怎么样求等差数列的任意项 应该怎么做?

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在本文中:求等差数列的下一项求缺少的中间项求等差数列的第N项使用显式公式求其他信息

等差数列是每一项与它前面一项的差等于一个常数的数列。例如,偶数列0,2,4,6,8{\displaystyle 0,2,4,6,8}…就是一个等差数列,因为数列中的数字和下一个数字的差总是等于2。[1]如果题目中的数列是等差数列,那么它可能会要你求出几个已知数字的下一项。题目还可能要你填入等差数列中缺少的那一项。最后,你可能还需要在不写出所有100项的情况下,求出第100项的值。无论题目是哪种类型,只需几个简单步骤,你就能算出答案。

1求等差数列的下一项

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 1为标题的图片

1求得数列的公差。面对一组数字时,有时题目会告诉你它们是等差数列,而有时你必须自己认识到这一点。无论是哪种情况,第一步都是相同的。从几个数字中选择最开始的两项。用第二项减去第一项。所得结果就是数列的公差。[2]

例如,假设有一组数字1,4,7,10,13{\displaystyle 1,4,7,10,13}…。用4?1{\displaystyle 4-1},求得公差为3。

假设有一列各项不断变小的数字,如25,21,17,13{\displaystyle 25,21,17,13}…。还是用第二项减去第一项来求出公差。这种情况下,21?25=?4{\displaystyle 21-25=-4}。负数结果说明从左到右看时,这组数字在逐渐变小。每次做题时,你都应该检查公差的正负号,看是否与数字的变化趋势相符。

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 2为标题的图片

2检查公差是否一致。只计算前两项的公差,不足以保证数列是等差数列。你需要确保整列数字的差值始终一致。[3]。将数列中另外两个连续项相减,检查它们的差值。如果结果与另外一到两次的结果一致,那么你面对的就很可能是等差数列。

还是以数列1,4,7,10,13{\displaystyle 1,4,7,10,13}…为例,选择数列的第二项和第三项。用7?4{\displaystyle 7-4},差值仍然为3。保险起见,再选两个连续项相减,13?10{\displaystyle 13-10},差值为3,还是与之前的结果相吻合。现在,你可以比较确定它是一组等差数列了。

有时,数列的前几项看上去像等差数列,但之后却不符合等差数列的特征。例如,数列1,2,3,6,9{\displaystyle 1,2,3,6,9}…。第一项和第二项之间的差是1,而第二项和第三项之间的差也是1。但是,第三项和第四项之间的差是3。由于数列各项之差并不相等,所以它不是等差数列。

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 3为标题的图片

3用公差加上最后的已知项。知道公差后,求等差数列的下一项就非常简单了。只需用公差加上最后的已知项,就可以得到下一个数字。

例如,在示例1,4,7,10,13{\displaystyle 1,4,7,10,13}…中,要算出下一个数字,你可以用公差3加上最后的已知项。13+3{\displaystyle 13+3}等于16,16就是下一个数字。只要愿意,你可以不断加3,写出数列后面的数字。例如,将数列后面的数字写出来后,我们得到1,4,7,10,13,16,19,22,25{\displaystyle 1,4,7,10,13,16,19,22,25}…。你可以一直写下去,直到满意为止。

2求缺少的中间项

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 4为标题的图片

1首先检查是否是等差数列。某些情况下,题目会给出一组缺少中间项的数字。和之前一样,首先你应该检查数列是否是等差数列。选择任意的连续两项数字,计算它们之间的差值。比较结果与数列中另外两个连续数字的差值。如果差值相等,那么你可以假设自己面对的是一个等差数列,然后继续使用本文的等差数列方法。

例如,假设有一个数列0,4{\displaystyle 0,4},___,12,16,20{\displaystyle 12,16,20}…。先用4?0{\displaystyle 4-0},求得差值为4。比较另外两个连续数字的差,如16?12{\displaystyle 16-12}。差值仍等于4。因此,你可以将之当做等差数列,继续解题。

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 5为标题的图片

2用公差加上空格前的那一项。方法和求数列最后一项类似。找到数列中空格前的那一项。这是已知的“最后一个”数字。用公差加上该项,算出应该填入空格的数字。[4]

在当前示例中,0,4{\displaystyle 0,4},____,12,16,20{\displaystyle 12,16,20}…,空格前的数字是4,而此数列的公差也是4。所以,用4+4{\displaystyle 4+4},得到8,它应该就是空格中的数字。

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 6为标题的图片

3用空格后的数字减去公差。为了确保答案正确,可以从另一个方向来进行检查。无论是正序还是倒序,等差数列应该都符合自身特点。如果从左到右需要逐项加4,那么反过来,从右到左就正好相反,需要逐项减4。

在当前示例中,0,4{\displaystyle 0,4},___,12,16,20{\displaystyle 12,16,20}…,空格后的数字是12。用该项减去公差,得到12?4=8{\displaystyle 12-4=8}。你应该将结果8填入空格中。

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 7为标题的图片

4比较结果。用左边项加公差和用右边项减公差算出来的两个结果应该相等。如果相等,说明你已经求得缺少项的值。如果不相等,则说明你需要检查自己的计算过程。题目中的数列可能并非等差数列。

在当前示例中,4+4{\displaystyle 4+4}12?4{\displaystyle 12-4}算得的结果都是8。因此,该等差数列的缺少项为8。完整的数列是0,4,8,12,16,20{\displaystyle 0,4,8,12,16,20}…。

3求等差数列的第N项

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 8为标题的图片

1确定数列的第一项。并非所有序列都以数字0或数字1开始。查看题中的数列,找到第一项。它是计算的起点,可以使用变量a(1)代表。

面对等差数列问题时,经常会使用变量a(1)来指代数列的第一项。当然,你可以选择自己喜欢的任何变量,这不影响结果。

例如,已知数列3,8,13,18{\displaystyle 3,8,13,18}…,第一项是3{\displaystyle 3},我们可以用a(1)来指代。

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 9为标题的图片

2设公差为d。用上文所述方法求出数列的公差。在当前示例中,公差等于8?3{\displaystyle 8-3},等于5。使用数列中的其他数字进行检查,得到同样的结果。我们用变量d来指代该公差。[5]

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 10为标题的图片

3使用显式公式。显式公式是一个代数方程,使用它来求等差数列的任意项时,你无须写出完整数列。等差数列的显式公式为a(n)=a(1)+(n?1)d{\displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}

a(n)项可以读作“a的第n项”,其中n代表数列中你想求出的项数,而a(n)是该项的实际数值。例如,如果题目要求你求等差数列的第100项,那么n等于100。注意,在本示例中,n等于100,但a(n)等于第100项的值,而不等于数字100本身。

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 11为标题的图片

4填入已知信息解题。使用数列的显式公式,填入已知信息,求出需要的项。

例如,在本示例中,3,8,13,18{\displaystyle 3,8,13,18}…,我们知道a(1)是第一项,等于3,而公差d等于5。假设题目要求你求出数列的第100项,则n=100,而(n-1)=99。填入数值后,完成显式公式,得到a(100)=3+(99)(5){\displaystyle a(100)=3+(99)(5)}。简化后的结果是498,这个数字就是该数列的第100项。

4使用显式公式求其他信息

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 12为标题的图片

1对显式公式进行变形,求其他变量。使用显式公式和基础的代数知识,你可以算出等差数列的几个其他数值。显式公式的初始形式是a(n)=a(1)+(n?1)d{\displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d},其目的是求an,也就是数列的第n项。但是,你可以对公式进行代数变形,来计算任何其他变量。

例如,假设数列的最后一个数字已知,需要你计算数列最开始的数字。你可以将公式变形,得到a(1)=(n?1)d?a(n){\displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n)}

如果你知道等差数列的第一个数字和最后一个数字,但需要算出该数列的项数,你可以将显式公式变形来求出n。公式变形后可得n=a(n)?a(1)d+1{\displaystyle n={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}

如果为了将公式变形,你需要复习基础的代数知识,可以参阅本网站代数计算或代数式化简的相关文章。

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 13为标题的图片

2求数列的第一项。已知等差数列的第50项为300,且每项比之前一项大7,即“公差”等于7,求序列第一项的值。使用变形后的显式公式来计算a1,求得问题的答案。

使用方程a(1)=(n?1)d?a(n){\displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n)},然后代入已知信息。由于已知第50项为300,所以n=50,n-1=49,且a(n)=300。题目还提供了公差d的值,d等于7。因此,公式变为a(1)=(49)(7)?300{\displaystyle a(1)=(49)(7)-300}。得到343?300=43{\displaystyle 343-300=43}。数列的第一项是43,每一项比前一项大7。因此,数列可以写作 43,50,57,64,71,78…293,300。

以Find Any Term of an Arithmetic Sequence Step 14为标题的图片

3求数列的项数。假设你只知道等差数列的第一项和最后一项,需要求数列的项数。使用变形后的公式n=a(n)?a(1)d+1{\displaystyle n={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}

假设已知等差数列的第一项是100,公差为13。题目还告知最后一项是2,856。要计算数列的项数,可以用到的信息有a1=100,d=13,以及a(n)=2856。将这些值代入公式,得到n=2856?10013+1{\displaystyle n={\frac {2856-100}{13}}+1}。计算后,可得n=275613+1{\displaystyle n={\frac {2756}{13}}+1},等于212+1,即213。所以该序列有213项。

该序列可以写作100, 113, 126, 139… 2843, 2856。

警告

数列有多种不同类型。不要假设所有数列都是等差数列。每次一定要检查至少两对数字,最好是三对或四对,来比较各对的公差。

小提示

记住,d可以是正数,也可以是负数,取决于它是相加还是相减。

参考

↑ https://www.mathsisfun.com/algebra/sequences-sums-arithmetic.html↑ http://www.algebralab.org/lessons/lesson.aspx?file=algebra_arithseq.xml↑ https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/topics/common-difference↑ http://virtualnerd.com/middle-math/number-algebraic-sense/sequences-patterns/missing-term-sequence-example↑ https://revisionmaths.com/advanced-level-maths-revision/pure-maths/algebra/series

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