怎么样手算立方根 应该怎么做?

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有计算器在手,计算任何数字的立方根可能只需要按几个按钮就可以了。但是,如果身边没有计算器,或者你想向朋友展示一下自己手算立方根的能力,这时就不能依赖计算器了。手算立方根的过程一开始看起来有点费力,但多加练习后,你会觉得它简便可行。记得一些基本的数学技巧和关于立方数的代数内容,对学习本文介绍的方法会很有帮助。

部分 1解立方根例题

以Calculate Cube Root by Hand Step 1为标题的图片

1列出问题算式。计算一个数字的立方根就像算一道长除法问题,但会有一些特殊的区别。第一步是以正确的形式列出问题算式。[1]

写下你要计算立方根的数字。从小数点开始,三位数为一组。在本例题中,你要计算10的立方根。将10写成10.000 000。额外的0是为了保证解的精确度。

在数字上画一个立方根根号。它的作用和长除法的横线相同。唯一不同的地方是符号的形状。

在横线上点一个小数点,它应该位于初始数字小数点的正上方位置。

以Calculate Cube Root by Hand Step 2为标题的图片

2知道个位数的立方值。计算中你会用到这些数字。个位数的立方值如下:

13=1?1?1=1{\displaystyle 1^{3}=1*1*1=1}

23=2?2?2=8{\displaystyle 2^{3}=2*2*2=8}

33=3?3?3=27{\displaystyle 3^{3}=3*3*3=27}

43=4?4?4=64{\displaystyle 4^{3}=4*4*4=64}

53=5?5?5=125{\displaystyle 5^{3}=5*5*5=125}

63=6?6?6=216{\displaystyle 6^{3}=6*6*6=216}

73=7?7?7=343{\displaystyle 7^{3}=7*7*7=343}

83=8?8?8=512{\displaystyle 8^{3}=8*8*8=512}

93=9?9?9=729{\displaystyle 9^{3}=9*9*9=729}

103=10?10?10=1000{\displaystyle 10^{3}=10*10*10=1000}

以Calculate Cube Root by Hand Step 3为标题的图片

3算出解的第一位数。选择一个数字,该数字的立方值应该在小于第一组三位数的前提下与之最为接近。[2]

在本例题中,第一组的三位数是10。找到小于10而又最接近10的整数立方值。该立方值为8,它的立方根是2。

在根号横线上、数字10的上方写下数字2。在数字10的下方写下23{\displaystyle 2^{3}}的值,也就是8,画一条横线,用10减去8,就做长除法一样。结果等于2。

相减后,你就得到了解的第一位数字。你需要判断一下,这个第一位数字是否是足够精确的结果。大部分情况下,它都不够精确。要进行判断,你可以计算该个位数的立方值,看它是否足够接近你想要的结果。本题中,由于23{\displaystyle 2^{3}}等于8,还不太接近10,所以你应该继续计算。

以Calculate Cube Root by Hand Step 4为标题的图片

4列式计算下一位数。将下一组三位数抄到余数后,在所得数字的左边画一条垂直的短线。它将是用来计算立方根下一位数的基数。本例题中,这个数字是2000,由之前减法所得的余数2和抄下的三个一组的0组成。[3]

在垂直线段的左边算出下一个除数,这个除数是三个单独数字的和。画三条彼此之间带有加号的空下划线,为这些数字留出空格。

以Calculate Cube Root by Hand Step 5为标题的图片

5算出下一个除数的开始部分。要计算这个除数的第一部分,写下300乘以根号上数字的平方。本例题中,根号上的数字是2,2^2等于4,而4*300=1200。所以,在第一个空格写1200。这一步的除数等于1200加上你之后会算出的某个数。[4]

以Calculate Cube Root by Hand Step 6为标题的图片

6算出立方根的下一位数字。选择一个数字乘以大概的除数1200,使之能够被余数2000减去,这个数就是解的下一位数字。这个数字只能是1,因为2乘以1200等于2400,大于2000。在根号上的下一个空格写下数字1。[5]

以Calculate Cube Root by Hand Step 7为标题的图片

7确定除数的剩余部分。此步骤的除数由三部分组成。第一部分是你已经算出的1200。你还需要两个数字来得到完整的除数。[6]

现在,用3乘以10乘以根号上解得的那两位数字。在本例题中,也就是用3*10*2*1,等于60。用60加上已经得到的1200,等于1260。

最后,加上最后一位数的平方。本例题中,最后一位数是1,而1^2仍然为1。所以,完整的除数等于1200+60+1,即1261。在垂直线段的左边写下这个数字。

以Calculate Cube Root by Hand Step 8为标题的图片

8先乘再减。要完成这一步计算,你需要用解的最后一位数乘以刚刚算出的除数,在本例题中,也就是用1乘以1261。1*1261 =1261。在2000的下方写下这个数字,然后做减法,得到739。

以Calculate Cube Root by Hand Step 9为标题的图片

9判断是否需要继续计算,以获得更精确的结果。完成每一步的减法部分后,你需要考虑自己的解是否足够精确。第一步减法后算出的解是2,对于10的立方根而言,不是很精确。现在,第二步算出的解是2.1。[7]

你可以计算2.1*2.1*2.1,来检查解的精确度。结果等于9.261。

如果觉得解已经足够精确,你可以就此停止。如果还想得到更精确的解,那么你必须继续下一步的计算。

以Calculate Cube Root by Hand Step 10为标题的图片

10算出下一步的除数。本例题中,为了得到更多练习和更精确的解,请重复如下步骤,做下一步计算:[8]

将下一组的三位数拉下来。本题中,这组数是三个0,放到余数739后面,得到739,000。

要计算除数,先用300乘以当前根号上数字的平方。即300?212{\displaystyle 300*21^{2}},等于132,300。

选择解的下一位数,使之乘以132,300后小于余数739,000。这个数字应该是5,因为5*132,300=661,500。将5写到根号上的下一个空格处。

用3乘以之前根号上的数字21,乘以你刚刚写下的数字5,再乘以10,得到3?21?5?10=3,150{\displaystyle 3*21*5*10=3,150}

最后,计算最后一位数的平方值。52=25{\displaystyle 5^{2}=25}

将除数的各部分相加,得到132,300+3,150+25=135,475。

以Calculate Cube Root by Hand Step 11为标题的图片

11用除数乘以解的最后一位数字。完成这一步计算并使解增加一位数后,按以下步骤继续进行:

用除数乘以解的最后一位数。135475*5=677,375。

做减法。739,000-677,375=61,625。

考虑解2.15是否足够精确。计算2.15的立方,2.15?2.15?2.15=9.94{\displaystyle 2.15*2.15*2.15=9.94}

以Calculate Cube Root by Hand Step 12为标题的图片

12写下你的最终答案。根号上的结果就是立方根,此时已经得到了较为准确的三位数。在本例题中,10的立方根等于2.15。要进行验证,可以计算2.15^3,结果得到9.94,非常接近10。如果你需要更精确的答案,可以继续计算下去,直至满意为止。

部分 2反复估算来求立方根

以Calculate Cube Root by Hand Step 13为标题的图片

1使用立方数来确定上限和下限。如果题目要求你计算任意数字的立方根,首先选择一个尽可能接近,但不超过目标数字的完全立方数。

例如,如果要计算600的立方根,回想一下,或查询立方表,你会发现83=512{\displaystyle 8^{3}=512},而93=729{\displaystyle 9^{3}=729}。因此,600的立方根必定是8和9之间的某个数。你可以用512和729来限制解的大小范围。

以Calculate Cube Root by Hand Step 14为标题的图片

2估算下一位数。使用特定的立方数知识可以得到首位数。要算出下一位数,你可以根据目标数在两个界限数之间的位置来估算一个0到9之间的数字。

例题中,600大约位于界限数512和729之间的中间位置。因此,选择5作为下一位数。

以Calculate Cube Root by Hand Step 15为标题的图片

3计算立方值来验证自己的估算。将刚刚估算出的数字连乘三次,看与目标数字有多接近。

本例题中,8.5?8.5?8.5=614.1{\displaystyle 8.5*8.5*8.5=614.1}

以Calculate Cube Root by Hand Step 16为标题的图片

4根据需要调整估算值。算出之前估算值的立方后,用结果对比目标值,来进行检查。如果结果大于目标值,你需要稍微下调估算值。如果结果小于目标值,你可能需要上调估算值,直至它超过目标值。

例如,本题中8.53{\displaystyle 8.5^{3}}大于目标值600。因此,你应该将估算值下调至8.4。计算8.4的立方,与目标值进行比较。8.4?8.4?8.4=592.7{\displaystyle 8.4*8.4*8.4=592.7}。结果小于目标值。因此,你知道600的立方根必定大于8.4,而小于8.5。

以Calculate Cube Root by Hand Step 17为标题的图片

5估算下一位数,求得更精确的答案。你可以继续从0到9中进行选择,估算下一位数,直至答案达到你的精确度要求。每次估算时,先根据目标数在最新算出的界限数之间的位置来进行估算。

本例题中,根据之前的计算可知,8.43=592.7{\displaystyle 8.4^{3}=592.7},而8.53=614.1{\displaystyle 8.5^{3}=614.1}。相比614,目标数600更接近592一点。因此下一次估算时,可以先选择0到9之间稍微小于中间数的数值。合理的猜测是4,所以估算的立方根是8.44。

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6继续检验自己的估算并做出调整。你可以根据需要多次估算,然后计算估算值的立方,并与目标数进行比较。你会找到一个略微大于目标数的数字,以及一个略微小于目标数的数字。

本例题中,先计算8.44?8.44?8.44=601.2{\displaystyle 8.44*8.44*8.44=601.2}。它略高于目标数,所以将8.44降到8.43,再进行检验。而8.43?8.43?8.43=599.07{\displaystyle 8.43*8.43*8.43=599.07}。因此,你知道600的立方根大于8.43,而小于8.44。

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7继续估算,直至达到你想要的精确度。根据需要,继续估算、比较和再次估算,重复这些步骤,直至解的精确度达到你的要求。注意,每多一位小数,目标数字就更接近实际数字。

以600的立方根为例,使用两位小数时,解为8.43,其真实立方值距离目标数的偏差小于1。如果继续算出三位小数的解,你会发现8.4343=599.93{\displaystyle 8.434^{3}=599.93},偏差已不足0.1。

部分 3了解这种计算的原理

以Calculate Cube Root by Hand Step 20为标题的图片

1回顾二项展开式。要理解这种算法为什么能算出立方根,首先需要回想一下二项式的立方展开是什么样子的。你可能在高中代数中学过这部分内容,但很可能像大多数人那样,已经忘得一干二净了。选择两个变量A{\displaystyle A}B{\displaystyle B}来代表个位数。然后创造一个二项式(10A+B){\displaystyle (10A+B)}来代表两位数。[9]

使用10A{\displaystyle 10A}项来创造一个两位数。无论为A{\displaystyle A}选择哪个个位数,10A{\displaystyle 10A}都会让这个个位数占据两位数的十位。例如,如果A{\displaystyle A}等于2,B{\displaystyle B}等于6,则(10A+B){\displaystyle (10A+B)}等于26。[10]

以Calculate Cube Root by Hand Step 21为标题的图片

2展开二项式的三次方。这里我们在倒推算法,先计算立方,然后再研究算法能够求出立方根的原理。我们需要先算出(10A+B)3{\displaystyle (10A+B)^{3}}的值。将二项式连乘三次,即(10A+B)?(10A+B)?(10A+B){\displaystyle (10A+B)*(10A+B)*(10A+B)}。由于计算过程太长,不在此处罗列,最终结果等于1000A3+300A2B+30AB2+B3{\displaystyle 1000A^{3}+300A^{2}B+30AB^{2}+B^{3}}[11]

关于展开二项式,算出此结果的详细过程,请参考二项式相乘的相关知识。更高级、更便捷的算法,可以参考使用杨辉三角形计算(x+y)^n的相关内容。

以Calculate Cube Root by Hand Step 22为标题的图片

3认识长除算法的含义。你应该注意到了,立方根的计算过程很像长除法。在长除法中,你会得到两个因式,它们相乘后等于初始数字。而在本文描述的计算中,你要求得的数字是立方根,也就是根号上最终得到的数字。这意味着它代表了(10A+B)项。A和B的具体值无关紧要,重要的是认识到它们与答案之间的关系。[12]

以Calculate Cube Root by Hand Step 23为标题的图片

4回顾展开的版本。仔细看展开后的多项式,你会发现立方根算法的作用原理。算法每一步的除数是你需要计算并加总的四项之和。这些项具体如下:[13]

第一项包含1000这个系数。首先,你要为第一位数选择一个数字,使它的立方在长除法的范围以内。这个数字使二项展开式中的1000A^3项变成已知项。

二项展开式的第二项的系数等于300。300实际上是通过3?102{\displaystyle 3*10^{2}}计算而得。回忆一下立方根的计算过程,每一步的第一位数都要乘以300。

立方根计算的每一步中,第二位数字都来自二项展开式的第三项。在二项展开式中,第三项是30AB^2。

每一步的最后一位数来自B^3项。

以Calculate Cube Root by Hand Step 24为标题的图片

5看着精确度不断上升。使用长除算法时,你完成的每一步都会让答案更加精确。例如,本文例题要求算出10的立方根。在第一步中,解是2,因为23{\displaystyle 2^{3}}接近10而小于10。但实际上23=8{\displaystyle 2^{3}=8}。经过第二轮计算后,你得到的解是2.1。算到这一步,2.13=9.261{\displaystyle 2.1^{3}=9.261},更加接近目标值10。而在第三轮计算后,得到2.15,2.153=9.94{\displaystyle 2.15^{3}=9.94}。你可以根据自己的需要,继续以三位数为一组,计算更加精确的答案。[14]

小提示

手算立方根和所有其他数学知识一样,熟能生巧。练习可以提高计算的速度和准确性。

警告

计算时很容易出错。因此做题时一定要认真仔细,做完后也要仔细检查。

你需要准备

钢笔或铅笔

直尺

橡皮擦

参考

↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html↑ https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/cubeRoot.html

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